軌跡と楕円

軌跡と楕円

長さ9の線分PQがある。点Pがx軸上、点Qがy軸上を動くとき、PQを4:5に内分する点Rの軌跡を求めよ。


[解答]

P, Q の座標をそれぞれ(u, 0), (0, v) とします。また、Rの座標を(x, y) とします。

Rの座標は内分点の公式を使い:

と求めることができます。

すなわち:
x=(5/9)u,
y=(4/9)v
です。

u, v を主役にすれば;
u=(9/5)x,
v=(9/4)y
となります。

ここで、線分PQの長さが9ですので、三平方の定理より:
u^2+v^2=9^2
が成り立ちます。

この式に、上のことを代入すれば:
(81/45)x^2+(81/16)y^2=81

両辺を81で割れば:
x^2/45+y^2/16 =1

これは楕円の方程式になっています。

したがって、点Rの軌跡は、楕円 x^2/45+y^2/16 =1 です。
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