円と楕円の関係の例題

円と楕円の関係の例題

円 x^2+y^2=9 をx軸を基準にしてy軸方向に2/3倍して得られる図形は、どのような曲線か。

[解答]

この円上の点P(u, v) が 点Q (x, y) に移る、とします。

x軸方向への変化はなく、y軸方向には2/3倍するのですから:
x=u,
y=(2/3)v
という関係が成り立つはずです。

この関係は、uとvを主役にすれば:
u=x,
v=(3/2)y
とできます。

u, v は円上の点ですから、円の方程式を満たします。すなわち:
u^2+v^2=9
が成り立ちます。

これに、上の式を代入すれば:
x^2+{(3/2)y}^2 = 9
です。

この両辺を9で割ると:
x^2/9 + y^2/4 = 1
となります。

これは楕円の方程式です。すなわち、得られる曲線は:
楕円 x^2/9 + y^2/4 = 1 です。
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