未定係数法

未定係数法 みていけいすうほう Method of undetermined coefficients

r(x)が恒等的に0でないとして:

という非斉次な2階線型微分方程式を解くには、y_p(x)を見つける、ということを述べました。

このy_p(x)を見つけるには、未定係数法と呼ばれる方法があります(より一般的な、定数変化法と呼ばれるものもありますが、それは今後の記事で紹介します)。

未定係数法は、r(x)が、指数関数・xのべき乗・コサイン・サイン、またはそれらの関数の和、であり、a,bを定数として:

という微分方程式を解くのに適しています。

大まかな考えとしては、r(x)に似ているy_p(x)の形を選び、それとそれの導関数を(係数が未知のまま)微分方程式に代入することによって、係数を求めていく、という作業を行うのが未定係数法です。


y_p(x)にどのような形のものを選ぶかに関しては、次の3つの基本的なルールがあります。

ルール1:
もし、r(x) が下にある、矢印の左側の関数の一つであるならば、矢印の右側の関数を y_p として選ぶ。そして、その y_p とy_p の導関数を代入することにより係数を決定していく。

r(x) → y_p

ke^(γx) → Ce^(γx)
kx^n (n=0, 1, 2, ...) → K_n x^n + K_(n-1) x^(n-1) + … + K_1 x + K_0
k cos(ωx) → K cos(ωx) + M sin(ωx)
k sin (ωx) → K cos(ωx) + M sin(ωx)
k e^(αx) cos(ωx) → e^(αx) {K cos(ωx) + M sin(ωx) }
k e^(αx) sin (ωx) → e^(αx) {K cos(ωx) + M sin(ωx) }


ルール2:

もし、ルール1 で選んだ y_p の中の項が、もとの微分方程式に対応する斉次な方程式「y''+ay'+by = 0」の解となるならば、y_p の中のその項にxを掛ける。

ただし、その項が「y''+ay'+by = 0」の特性方程式の重解を持つ場合のその解(=リンク先のy_1)に対応しているならば、y_p の中のその項 にx^2 を掛ける。


ルール3:

もしr(x)がルール1の表の、矢印の左側の関数の和ならば、矢印の右側の対応する関数の和をy_p として選ぶ。
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