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一般解は全ての解を含む

一般解は全ての解を含む

以前の記事で、斉次な2階線型微分方程式:

は(条件を満たしていれば)、一般解が全ての解を含んでいることを見ました。

これと同様のことが、非斉次な場合でも成り立ちます。


もし、非斉次な2階線型微分方程式:

において(この微分方程式を(1)とします)、p(x)、q(x)、r(x)が、ある開区間Iにおいて連続であるならば、Iにおける(1)の全ての解は、(1)の一般解
y(x)=y_h(x)+y_p(x)  (y_h=c_1y_1+c_2y_2 とする)
の任意定数c_1、c_2 に適切な値を与えることによって、得ることができます。


証明:

y* を(1)のIにおける任意の解とし、x_0を、Iの任意の点とします。

y(x)=y_h(x)+y_p(x) を、Iにおける任意の一般解とします。この一般解は存在する、と確かに言えます。連続性の仮定から、以前紹介した定理により、y_h=c_1y_1+c_2y_2 が存在しており、さらに、y_pも存在する、と言えます(y_pの存在性に関しては、今後の記事で詳しく見ます)。

一般解と特殊解の関係より、Y=y*-y_p は:

のIにおける解になります。

x_0において:
Y(x_0)=y*(x_0)-y_p(x_0)、
Y’(x_0)=y*’(x_0)-y_p’(x_0)
となります。

これは、

をもとにした初期値問題、ということになります。

以前紹介した定理により、この初期条件を満たす特殊解が存在し、それは、y_hのc_1とc_2に適切な値を与えることにより得られます。

以上のことと、y*=Y+y_p であることから、証明ができたことになります(y*は(1)の任意の解ですから、どんな解もこの形になる、ということです)。
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