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非斉次な2階線型微分方程式

非斉次な2階線型微分方程式

これからのいくつかの記事では、非斉次な2階線型微分方程式について見ていきます。

すなわち、r(x)が恒等的に0でないとして:

という微分方程式を考えていきます。


非斉次である場合、一般解と特殊解の定義が、斉次なときとは多少違っているので注意が必要です。

非斉次な2階線型微分方程式の、開区間Iにおける一般解は、もとの微分方程式に対応する「斉次な」微分方程式

のIにおける一般解「y_h=c_1y_1+c_2y_2」と、もとの非斉次な微分方程式のIにおける、任意定数を含まない任意の解「y_p」、の和と定義します。

すなわち:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)
を、もとの非斉次な微分方程式の一般解とします。


特殊解は、一般解のy_hの任意定数c_1とc_2に具体的な値を代入することによって、一般解から得られる解、と定義します。
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