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一般解は全ての解を含む(特異解はない)

一般解は全ての解を含む(特異解はない)

次の定理が成り立ちます。

もし、斉次な2階線型微分方程式:

の係数p(x)、q(x)が、ある開区間Iにおいて連続であるならば、この微分方程式のIにおける全ての解y=Y(x)は:
Y(x)=C_1y_1(x) +C_2y_2(x)
の形をしています。

ここで、y_1とy_2はもとの微分方程式のIにおける任意の基本解(基底)であり、C_1とC_2は適切な定数です。


また、以上より、もとの微分方程式は特異解をもたない、とも言えます。すなわち、すべての解が一般解から得られます。


y=Y(x)を、もとの微分方程式のIにおける任意の解とします。前の記事の定理により、もとの微分方程式は、一般解:
y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)
を持ちます。

Iにおいて、y(x)=Y(x) となるようなc_1とc_2の適切な値を見つけることを考えます。

I内の任意の点x_0を選び、y(x_0)=Y(x_0) かつ y’(x_0)=Y’(x_0) となるような適切なc_1とc_2を見つけることができることを示していきます。

これは、すなわち:

となるようなc_1、c_2を見つける、ということです。

上の段の式にy’_2(x_0)、下の段の式に-y_2(x_0)を掛け、辺辺を足します。

また、上の段の式に-y’_1(x_0)、下の段の式にy_1(x_0)を掛け、辺辺を足します。

結果として、次の2つの式が得られます:

y_1,y_2は基本解(基底)なので、そのロンスキー行列式W(y_1,y_2)=y_1y’_2-y_2y’_1 の値は0ではありません。よって、c_1とc_2について上の式を解くことができます(つまり、c_1とc_2の値を決定できます)。

このc_1とc_2の値を、c_1=C_1、c_2=C_2 とします。これを、もとの微分方程式の一般解の式に代入することにより、特殊解

を得ます(C_1とC_2は任意ではなく、ある特定の値ですから、これは特殊解です)。

ここで、C_1とC_2は:

を満たしますから:

が成り立ちます。

解の一意性により、y*とYは、Iにおけるすべての点で等しいです。


以上で、証明は終わりです。
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